Ausrechnen oder aushandeln?

Der Versuch, die (Nicht)Existenz Gottes mit abstrakten ontologischen Argumenten zu beweisen, hat in der Philosophie und Theologie eine lange Tradition. Der Beweis von Gödel1 ist zweifelsfrei ein Höhepunkt dieser auf Leibniz zurückgehenden Tradition. Dazu benutzt Gödel einige vernünftige (aber umstrittene) Axiome, die sie erfüllen sollten. Kommentare zu diesem Beweisverfahren haben verschiedene, leicht abweichende Versionen von Axiomen und Definitionen benutzt.2

Wer der Mathematik nicht so zugewandt ist, kann die Textpassage über das axiomatische Aussagensystem überspringen und gleich zur kritische Würdigung übergehen. Der Inhalt des hier beschriebenen Gedankengangs wird dadurch nicht wesentlich verändert. In beiden Fällen zeigt sich, das mathematische Aufgaben durch ein regelorientiertes Verknüpfen von abstrakten Objekten des Denkens wie Zahlzeichen (Ziffern), Schriftzeichen (Buchstaben) oder mathematischen Symbolen auszurechenbar sind. Demgegenüber sind und bleiben Entscheidungen mit sich selbst oder mit anderen auszuhandeln, indem man sich (mit anderen Personen zusammen) in plausibel begründeter Weise auf ein künftiges Tun und/oder Unterlassen festlegt und diese Festlegung verantwortet.

Gödels ontologischer Beweisversuch

Der Beweis von Gödel benutzt eine ausdrucksstarke logische Sprache mit Modaloperatoren (möglich und notwendig) und mit Quantoren für Individuen und Eigenschaften erfordert. Mit den Mitteln der Modallogik lassen sich nicht nur Aussagen wie „Es gibt eine Lösung“ analysieren, sondern auch Aussagen wie „Möglicherweise gibt es eine Lösung“ und „Notwendigerweise gibt es eine Lösung“. Dabei bleibt zu beachten, dass der Wahrheitswert der Gesamtaussage mit modallogischen Ausdrücken nicht unbedingt erhalten bleibt, wenn eine darin enthaltene Teilaussage durch eine andere mit gleichem Wahrheitswert ersetzt wird.3 Dieser Umstand wird bezeichnet mit: Die Modallogik nicht (anders als die klassische Logik) nicht wahrheitsfunktional.

In der Modallogik wird der Ausdruck möglich (genauer: „es ist möglich, dass…“) durch das Zeichen ◊ (Raute) dargestellt und der Ausdruck notwendig (genauer: „es ist notwendig, dass…“) durch das Zeichen □ (Box). Diese beiden Modaloperatoren können auf verschiedene Weise versprachlicht werden. ◊A kann interpretiert werden als „A ist möglich“ (modale Deutung), als „A ist erlaubt“ (deontische Deutung), als „A gilt/galt irgendwann in der Zukunft/Vergangenheit“ (temporale Deutung) sowie als „Ich halte A für möglich“ (epistemische Deutung). In gleicher Weise kann □A interpretiert werden als „A ist notwendig“ (modale Deutung), als „A ist geboten“ (deontische Deutung), als „A gilt/galt immer in der Zukunft/Vergangenheit“ (temporale Deutung) sowie als „Ich halte A für gewiss“ (epistemische Deutung).

In diesem Rahmen formulierte Gödel ein axiomatisches Aussagensystem; er benutzte wenige Axiome und beschrieb die Schlussregeln, mit denen aus den Axiomen weitere Sätze bewiesen werden können. Es gelang ihm, das modale Konditional und die Möglichkeitsbehauptung in dem axiomatischen System als Theoreme herzuleiten und im strengsten Sinne in Bezug zum axiomatischen System zu beweisen. Gödel benutzte dabei die folgenden Axiome und Definitionen (Kursivschrift vom Verf.):

Axiom 1        
Entweder eine Eigenschaft oder ihre Negation ist positiv

Axiom 2        
Eine aus einer positiven Eigenschaft notwendigerweise folgende Eigenschaft ist positiv

Theorem 1     
Positive Eigenschaften kommen möglicherweise einem Wesen zu, formal:

Definition 1   
Göttlich ist ein Wesen, falls es alle positiven Eigenschaften besitzt.

Axiom 3        
Göttlich ist eine positive Eigenschaft.

Korollar        
Möglicherweise existiert ein göttliches Wesen.

Axiom 4        
Positive Eigenschaften sind notwendigerweise positiv.

Definition 2   
Eine Eigenschaft eines Wesens ist essentiell, falls diese alle seine Eigenschaften notwendigerweise impliziert.

Theorem 2     
Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens.

Definition 3   
Ein Wesen ist notwendigerweise existent, falls es all seine essentiellen Eigenschaften notwendigerweise erfüllt.

Axiom 5        
Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft.

Theorem 3     
Ein göttliches Wesen existiert notwendigerweise.

Die logische Korrektheit dieses Beweises konnte mit höchster mathematischer Präzision (in der Version von Dana Scott) überprüft und bestätigt werden.4


Das axiomatische Aussagensystem

Lange Zeit ist die Kritik von Sobel5 als gültig angesehen worden, aus Gödels Annahmen sei die Formel A → □A ableitbar und daher fielen alle Modalitäten in Gödels Beweis zusammen. Fuhrmann6 hat eine Konstruktion vorgestellt, die alle Axiome des Beweises von Gödel erfüllt, aber nicht die Formel von Sobel. Die Annahmen in dem Beweis von Gödel bewirken also nicht notwendigerweise den Zusammenfall aller Modalitäten. Vor diesem Hintergrund wird hier der Konstruktion von Fuhrmann gefolgt:

Erstes Axiom: Jede Eigenschaft ist entweder positiv oder negativ:

(A1)                 P ¬ X → ¬ PX  ↔  ¬ PX P ¬ X.

Zweites Axiom: Was eine positive Eigenschaft notwendig einschließt, ist selbst eine positive Eigenschaft:

(A2)                  PX ∧ □∀x (Xx Yx) → PY.

Definition »göttlich«: Etwas ist dann göttlich, wenn es alle positiven Eigenschaften besitzt:

(D1)                  Gx ↔ ∀X (PX Xx).

Erster Satz: Positive Eigenschaften sind konsistent:

(S1)                   PX → ◊∃x Xx. [1]

Da nach (A3) Göttlichkeit eine positive Eigenschaft ist, folgt unmittelbar das

Korollar zum ersten Satz: Ein göttliches Wesen ist möglich:

(S1*)                 ◊∃x Gx.

Somit ist mit den Axiomen (A1.1), (A2) und (A3), mit den elementaren Schlussweisen der Logik der zweiten Stufe sowie mit der Annahme, Selbstidentität und Selbstverschiedenheit seien Eigenschaften, der Möglichkeitsnachweis erbracht.

Viertes Axiom: Positive Eigenschaften sind notwendig positiv:

(A4)                  P X → □PX

Definition »wesentliche Eigenschaft«: X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x ein X ist und alle weiteren Eigenschaften von x daraus notwendig folgen:

(D2)                  X Ess x ↔ Xx ∧ ∀Y (Yx → □∀y (Xx Yy)).

Aus dieser Definition folgt unmittelbar, dass alle wesentlichen Eigenschaften notwendig äquivalent sind.7

Zweiter Satz: Göttlichkeit ist eine wesentliche Eigenschaft:

(S2)    Gx G Ess x. [3]

Das hier verwendete modale Prinzip, die Regel

(RM)                   aus A → B schließe □A → □B

ist insofern elementar, als dass sie allen sogenannten ›normalen‹ Modallogiken gemein ist. Die Regel besagt, dass, wenn es eine logische Tatsache ist, dass B wahr ist, wenn A wahr ist, und A in jeder möglichen Welt wahr ist, dann ist B in jeder möglichen Welt wahr. (RM) ist übrigens äquivalent zu der Regel

(RM◊)                 aus A → B schließe ◊A → ◊B

Die Äquivalenz folgt aus der Tatsache, dass ◊A ¬ □ ¬ A. Neben der modalen Schlussregel (RM) wird hier also nur die zweite Hälfte des ersten Axioms (A1.2) sowie (A3) verwendet.

Aus G Ess x folgt, dass jede weitere Eigenschaft von x notwendig aus der Eigenschaft G der Göttlichkeit folgt. Das gilt insbesondere auch für die Eigenschaft mit x identisch zu sein (die wir hier wieder mit x = _ andeuten), d.h.

                            x = x → □∀y (Gy x = y)

ist eine Instanz von

                            ∀y (Yx → □∀y (Gy Yy))

(mit x = _ eingesetzt für Y). Da x = x immer wahr ist, haben wir aus der Annahme Gx direkt geschlossen auf □∀y (Gy x = y)); dies ergibt den

Korollar zum Zweiten Satz. Es gibt notwendig höchstens ein göttliches Wesen:

(S2*)                 Gx → □∀y (Gy x = y).

Definition »notwendige Existenz«. Etwas existiert genau dann notwendig, wenn alle seine

wesentlichen Eigenschaften notwendig instantiiert sind:

(D3)                  Ex X (X Ess x → □∃y Xy).

Fünftes Axiom. Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft:

(A5)                     PE.

Dritter Satz: Wenn die Existenz eines göttlichen Wesens möglich ist, dann ist sie notwendig:

(S3)                     ◊∃x Gx → □∃x Gx.

Durch (S2) und (A5) gilt als bewiesen, dass aus der Existenz eines göttlichen Wesens seine notwendige Existenz folgt; der Beweis beruht auf (A1.2), (A4) und (A5), nämlich:

Wir notieren den Ausdruck, dass aus der Existenz eines göttlichen Wesens seine notwendige Existenz folgt durch:

(+)                        ∃x Gx → □∃x Gx.

Angenommen, ein göttliches Wesen existiert ∃x Gx , d.h. es gibt ein y, auf das die Eigenschaft G zutrifft (Gy). Nach (D1) hat y alle positiven Eigenschaften, (∀X (PX → Xy)). Das gilt insbesondere für die Eigenschaft der notwendigen Existenz, also: PE → Ey. Nach (A5) ist notwendige Existenz eine solche positive Eigenschaft (PE). Daraus folgt, dass y notwendig existiert (Ey im Sinne von (D3)). Dadurch ergibt sich dann: jede wesentliche Eigenschaft von y ist notwendig instantiiert (∀Y (Y Ess y → □∃x Xy)). Aufgrund von (S2) und unserer Annahme Gy wissen wir, dass Göttlichkeit eine wesentliche Eigenschaft von y ist. Daher gibt es notwendigerweise etwas, das diese Eigenschaft hat (□∃x Gx). Damit ist (+) bewiesen.

Aufgrund der Regel (RM◊) können wir aus (+) darauf schließen, dass

(+ +)                     (□∃x Gx) → ◊□∃x Gx).

Während die Regel (RM◊) ein recht schwaches und deshalb unumstrittenes modales Prinzip ist, ist das modale Axiom

(mA)                    ◊□A → □A

sehr viel stärker.

Eine Instanz von (mA) ist jedenfalls

(*)                       ◊□∃x Gx) → □x Gx.

Aus (+ +) und (*) folgt aufgrund der Transitivität der Implikation der zu beweisende Satz:

                            ◊∃x Gx) → □∃x Gx.

Das Endresultat des ontologischen Beweises folgt aus (S1*) und (S3) in Verbindung mit (S2):

Korollar zum Dritten Satz. Es gibt notwendig genau ein göttliches Wesen:

(S3*)                   □∃x (Gx ∧ ∀y (Gyx = y)).

Das modale Axiom (mA) ist stark, lässt sich aber in einem Modell bestehend aus möglichen Welten sehr plausibel machen. In einem solchen Modell wird die Bedeutung von »notwendig« (□) und »möglich« (◊) so erklärt:

(N) A ist genau dann notwendig (□A) in einer beliebigen möglichen Welt w, wenn A in allen möglichen Welten wahr ist;

(M) A ist genau dann möglich (◊A) in einer beliebigen möglichen Welt w, wenn es mindestens eine mögliche Welt gibt, in der A wahr ist.

Wenn wir annehmen, dass A möglicherweise in unserer Welt (u) notwendig (◊□A) ist, dann gibt es gemäß (M), mindestens eine mögliche Welt (w), in der A notwendig (□A) wahr ist. Das bedeutet gemäß (N), dass A in allen möglichen Welten der Fall ist; das bedeutet nach (N), dass A notwendig ist in jeder beliebigen möglichen Welt (w) und damit auch in unserer Welt (u). Es ergibt sich somit: Aus der möglichen Notwendigkeit eines Sachverhaltes folgt seine schlichte Notwendigkeit.

Kritische Würdigung

Was ergibt sich nun daraus, dass der Beweis von Gödel in sich logisch korrekt ist? Grundsätzlich ist auch eine logisch fehlerfreie Argumentationskette kritisch zu würdigen und kontrovers diskutierbar.8

So können benutzte Annahmen als falsch angesehen, der Übergang von den Annahmen zu den Konklusionen als ungültig abgelehnt, oder der Beweis zwar akzeptiert, aber die Folgen bagatellisiert werden. Was also kann an Gödels Beweis kritisch angemerkt werden?

Erstens ist aus Gödels Notizen herauszulesen, dass Göttlichkeit und notwendige Existenz zwar irgendwie positive Eigenschaften sind, aber was er genau darunter verstanden hat, bleibt dennoch unklar. Insofern kann letztlich nicht genau gesagt werden, was denn der Beweis von Gödel eigentlich bewiesen hat.

Zweitens kann mit den aktuell verfügbaren Mitteln aus einer rein axiomatisch definierten Eigenschaft grundsätzlich keinerlei Verbindung zu einem durch eine langjährige, abendländisch-theologischen Tradition maßgeblich geprägten und zudem weitgehend unbestimmten Begriff „Gottheit“ hergestellt werden; allerdings ist festzustellen, dass die Axiome, Korollare, Definitionen und Theoreme in Gödels Beweis in sich logisch, widerspruchsfrei, nachvollziehbar formal korrekt und mit den traditionellen Eigenschaften einer „Gottheit“ vereinbar sind. Bestehende Unklarheiten können also den Formalismus mit seiner Argumentationsketten keinesfalls betreffen.

Drittens kann eine Verbindung zwischen einer axiomatisch definierten Eigenschaft einerseits und einem durch Traditionen vorgegebenen Begriff andererseits nicht mit rein logischen Mitteln erfolgen. Allerdings ist zu konstatieren, dass die Gödelschen Axiome Bedingungen ausdrücken, die mit den traditionellen Vorstellungen von göttlicher Vollkommenheit durchaus im Einklang stehen.

Viertens kann Gödels Argumentation nur dann als Beweis für eine nicht nur rein formale, sondern material charakterisierte „Gottheit“ verstanden werden, wenn die Menge der göttlichen Vollkommenheiten die Bedingungen für „Positivität“ erfüllt und also die Menge der Vollkommenheiten konsistent ist. Genau dies setzt Gödel einfach voraus! Ob dies erfüllt ist, zeigt der Beweis nicht. In diesen Zusammenhang ist es auffällig, dass Gödel in seinen Notizen in deutschen Textpassagen häufig anstelle des englischen Adjektivs positive das Wort “Perfective” benutzt. Insofern kann man der Auffassung sein, Gödels axiomatisches Vorgehen habe folgendes Ergebnis hervorgebracht: Wenn die “Perfectiven” zueinander konsistent sind und dazu die “notwendige Existenz” eine “Perfective” ist, dann ist zwingend zu schlussfolgern, dass notwenderweise ein göttliches Wesen existiert. Aber auch nur dann.

Fünftens ist Gödels Theorem 3 von der notwendigen Existenz Gottes so entwickelt, dass den allerstrengsten Anforderungen an wissenschaftliche Begründungen genügt wird. Gödel leitet seine These im Rahmen eines axiomatischen Fragmentes traditioneller Theologie genauso her wie mathematische Aussagen im Rahmen eines arithmetischen Axiomensystems. Die Axiome des Systems können akzeptiert werden, ohne sich zugleich vom vernünftigen Denken zu verabschieden. Das bedeutet letztlich: Die Axiome ist keinesfalls schlechter als andere Annahmen aus dem Bereich der spekulativen(!) Metaphysik.

Fuhrmann beendet seine Betrachtungen zu Gödels Beweis daher mit dem Hinweis, dass seine ontologische Argumentation „…so gut ist, wie philosophische Argumente nur sein können: eine nicht-triviale Kette gültiger Schlüsse aus Annahmen, deren sorgfältiger Erwägung kein Vernünftiger sich verschließen sollte.“9

Der Beobachter

Es liegt im Auge des Beobachters, den Beweis von Gödel mitsamt seiner Definition einer „Gottheit“ zu akzeptieren oder zu kritisieren. Demnach bleibt es jeder Person selbst überlassen, den Beweis von Gödel mit seinen Voraussetzungen und Annahmen als „wahr“ oder „unwahr“ anzusehen; dabei ist zu beachten, dass Gödel10 neben „wahr“ und „unwahr“ die Kategorie „beweisbar“ eingeführt hat. Er konnte zeigen, dass es „wahre“ Sätze gibt, die dennoch nicht als „wahr“ bewiesen werden können und insofern nicht im mathematischen Sinne errechenbar sind. Genau bei solchen prinzipiell unentscheidbaren Fragen hat der Mensch (für sich) zu entscheiden.((Vgl.: v. Foerster, Heinz (1993a): KybernEthik, Berlin: Merve, S. 73)) Die Antwort einer solchen Frage liegt dann im Beantworter selbst; er ist somit verantwortlich für das, was er für entschieden hält und was nicht.

Nur was einer Beobachtung zugänglich ist, kann als „da“ erkannt und als zu entscheidender Sachzusammenhang verstanden werden. Der Vollzug einer Beobachtung (die ein Resultat bewirkt) ist das Kennzeichen eines Beobachters. Wer diesen Gedankengang durchdenkt, entdeckt am Ende sich selbst als Beobachter, der diese und keine andere (ebenso möglich gewesene) Beobachtung vollzieht und damit ein bestimmtes Resultat erzielt hat.11

Wird ein Beobachtungsergebnis versprachlicht, dann ergibt sich: Alles was kommuniziert wird, wird von einem Beobachter12 zu einem Beobachter13 kommuniziert.

Es kann sich dabei um zwei verschiedene Beobachter14 oder einen sich selbst beobachtenden und insofern reflexiven Beobachter15 handeln.16 Auch die Conversation Theorie von Pask17 beschreibt die Interaktion zwischen zwei kognitiven Systemen, die einen ergebnisoffenen Dialog über ein bestimmtes Konzept führen und sich einem gemeinsamen Verständnis annähern; beiden Systeme können dabei als unterschiedliche Perspektiven in einem Individuum verstanden werden.

Übertragen auf das Durchdenken von Gödels ontologischem Beweis ergibt sich, dass ein Beobachter seine ihm eigenen Gedanken(gänge) beobachtet und sie ggf. visuell, mathematisch, schriftlich oder mündlich dokumentiert. Er kann dabei entweder mit sich selbst (z. B: in einem Projekttagebuch) oder mit anderen, ihn beobachtenden Beobachter (z. B. in einer Begegnung) interagieren.

Verantwortung

Beispielsweise könnte ein Beobachter von Gödels ontologischem Beweis sich darüber Gedanken machen (und sie in sein Tagebuch notieren), unter welchen Voraussetzungen er Gödels modallogisches Vorgehen als gültigen Beweis für eine materiell charakterisierte „Gottheit“ versteht. Formal ist es dazu notwendig, dass die Menge der Vollkommenheiten konsistent ist. Gödel setzt dies zwar voraus, einen Beweis liefert er dafür aber nicht. Es handelt sich dabei um eine unentscheidbare Frage der Gültigkeit einer nicht bewiesenen Setzung. Dies ist eine Entscheidung mit zwei sich jeweils gegenseitig ausschließenden, jedoch prinzipiell möglichen und zu versprachlichenden Alternativen, die es jeweils nur in Relation zur anderen gib.18

Ob die Menge der Vollkommenheiten als konsistent anzusehen ist, könnte der Beobachter von Gödels ontologischem Beweis auch mit einem Gesprächspartner besprechen. Aber auch dann handelt sich um eine letztlich um eine unentscheidbare Frage der Gültigkeit einer nicht bewiesenen Setzung. Die dafür zu treffende Entscheidung hat der seine Gedanken beobachtende Beobachter für sich bzw. im Gespräch mit einem anderen Beobachter zu entscheiden. In beiden Fällen bleibt der Beobachter verantwortlich für seine ihm eigene Entscheidung.

Somit sind zwar mathematische Aufgaben durch ein regelorientiertes Verknüpfen von abstrakten Objekten des Denkens wie Zahlzeichen (Ziffern), Schriftzeichen (Buchstaben) oder mathematischen Symbolen auszurechnen. Entscheidungen hingegen sind (mit sich selbst oder mit anderen) auszuhandeln, indem man sich (mit anderen Personen zusammen) in plausibel begründeter Weise auf ein künftiges Tun und/oder Unterlassen festlegt und diese Festlegung verantwortet.

Beweise ……………………


[1] Angenommen, X ist eine positive Eigenschaft,

(B1)                     PX

und angenommen, X sei nicht konsistent (¬◊∃x Xx, nach Umformung ∃x in ¬∀X ¬, von ◊ in ¬ □ ¬ und dem Streichen von dadurch entstandenen doppelten Negationen):

                            ◊∀x ¬ Xx.

Wenn Xx falsch ist, dann impliziert Xx einen beliebigen Widerspruch, also z. B.

(B2)                     □∀x (Xx → ¬ x = x).

Wenn die Eigenschaft von x nicht mit x identisch ist (dies mit ¬ x = _ andeuten [2]), dann folgt aus (B1) und (B2) gemäß (A2), dass diese Eigenschaft positiv sein muss: P (¬ x = _). Daraus folgt gemäß (A1.1), dass

(B3)                     ¬ P (x = _ ).

Rein logisch gilt aber ◊∀x (Xx →¬x = x). Und daraus folgt wie aus (B1) nach (A2) wiederum folgt, dass die Eigenschaft der Selbstidentität auch positiv sein muss:

(B4)                     P (x = _ ).

Es ergibt sich: (B3) und (B4) widersprechen einander. Folglich muss unsere Annahme, dass positive Eigenschaften inkonsistent sein können, falsch sein.

. . . .

[2] Die Notation ¬ x = _ für die Eigenschaft ist nicht mit x identisch ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formaleren Abstraktionsausdruck wie λy.¬ x = y. Dafür bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck λy.¬ x = y gleichbedeutend ist mit dem Ausdruck ¬ λy.x = y. Dies ist harmlos, da aufgrund der Regel der λ-Konversion (λy.Xy.x ↔ Xx) zu schließen ist λy.¬ x = y.x  ↔  ¬ x = x ↔  ¬ λy.x = y.x .

. . . . .

[3] Wir nehmen an, dass 

(§)                      Gx,

um zeigen, dass x wesentlich göttlich ist und daher alle weiteren Eigenschaften von x aus der Eigenschaft G folgen, sei Y eine solche weitere Eigenschaft von x,

  (§§)                   Yx.

Für den Beweis wird es nach (D2) genügen zu zeigen, dass ∀y (Gy Yy). Angenommen ¬ PY. Dann gilt gemäß (A1.2), dass P ¬ Y. Daraus folgt zusammen mit unserer Annahme (§) nach (D1) im Widerspruch zu (2), dass ¬ Yx. Somit ist Y eine positive Eigenschaft, und daraus folgt unmittelbar nach (A4), dass dies notwendigerweise so ist:

  (†)                       □PY.

Nun ist PY → ∀y (Gy Yy) eine Hälfte der Definition der Göttlichkeit (D). Daraus folgt aufgrund einer elementaren modalen Schlussregel, dass

  (‡)                       □PY → ∀y (Gy Yy).

Aus (†) und (‡) folgt jetzt mit Modus Ponens ∀y (Gy Yy).

. . . .

  1. Gödel ging mindestens 30 Jahre der Frage nach, ob ein ontologischer Gottesbeweis aus axiomatisch formulierten, klassischen Annahmen rein logisch möglich sei oder nicht. Im Nachlass von Kurt Gödel findet sich eine erste Fassung von 1941, weitere Notizen dazu vermutlich von 1954/55 und die letzte und Fassung vom 10.02.1970; vgl.: Gödel, Kurt (1995) Ontological proof. In Feferman, Solomon (Editor-in-Chief.), Dawson, John W. Jr; Goldfarb, Warren; Parsons, Charls, Soloway, Robert M.: Collected Works, vol. III, S. 403 f., New York: Oxford University Press; ders. (1970): Ontological proof. In: Kurt Gödel: Collected Works Vol. 3: Unpublished Essays and Letters. Oxford University Press []
  2. Vgl.: Anderson Antony C.; Gettings, Michael (1996): Gödel ontological proof revisited. In Gödel’96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science, and Physics: Lecture Notes in Logic 6, S. 167–172; Fitting, Melving (2002): Types, Tableaux and Gödel’s God, Kluver Academic Press; Soebel, Jordan Howard (2004): Logic and Theism: Arguments for and Against Beliefs in God, Cambridge: University Press.; Scott, Dana (2004): Appendix B. Notes in Dana Scott’s Hand, S. 145–146. In Soebel, Jordan Howard (2004): Logic and Theism: Arguments for and Against Beliefs in God, Cambridge: University Press. []
  3. Beweis: Die Aussage „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“. Diese Aussage ist zwar wahr, denn es ist durchaus vorstellbar, dass sich Sokrates niemals für Philosophie interessiert hatte), enthält allerdings als Teilaussage die falsche Aussage „Sokrates ist kein Philosoph“. Diese Aussage ist im Gegensatz zur Ausgangsaussage falsch. []
  4. Vgl.: Benzmüller, Christoph; Woltzenlogel Paleo, Bruno (2017): Formalization, Mechanization and Automation of Gödel’s Proof of God’s Existence; in: arXiv:1308.4526 [cs.LO]; https://doi.org/10.48550/ arXiv.1308.4526 []
  5. Vgl.: Soebel, Jordan Howard (2004): Logic and Theism: Arguments for and Against Beliefs in God, Cambridge: University Press, S. 132 ff. []
  6. Vgl.: Fuhrmann, André (2005): Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie, in: Spohn, Wolfgang (Hrsg.): Logik in der Philosophie, Heidelberg: Synchron, S. 349 – 374. []
  7. Gödels Definition lässt im Definiens das Konjunkt Xx aus, aber dass er die Definition so beabsichtigte, wie sie hier notiert ist, zeigen seine Notizbucheintragungen. []
  8. Vgl.: Soebel, Jordan Howard (2004): Logic and Theism: Arguments for and Against Beliefs in God, Cambridge: University Press, S. 132ff.; Sobel, J. H. (1987): Gödel’s ontological proof. In Thomson, J. J. (Ed): On Being and Saying, S. 241–61. Cambridge (Mass.): MIT Press []
  9. Fuhrmann, André (2005): Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie, in: Spohn, Wolfgang (Hrsg.): Logik in der Philosophie, Heidelberg: Synchron, S. 349 – 374, hier S. 369. []
  10. Gödel, K. (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik, Jg.. 38, 1931, S. 173–198, doi:10.1007/BF01700692 []
  11. Vgl.: Spencer-Brown, G. (1969): Laws of Form, London: Allen & Unwin []
  12. Vgl.: Maturana, H. (1982): Erkennen. Die Organisation und Verkörperung von Wirklichkeit, Braunschweig, S. 8; ders. (1980): Biology of Cognition, Biological Computer Laboratory Research Report BCL 9.0., Urbana IL: University of Illinois, 1970. Reprint in: Autopoiesis and Cognition: The Realization of the Living, Dordecht, S. 5–58 []
  13. Vgl.: v. Foerster, H. (1993b): Wissen und Gewissen, Hrsg. von Siegfried J. Schmidt, Frankfurt a. M.: Suhr­kamp, S. 84f.; ders. (1979): Cybernetics of Cybernetics. In: Krippendorff, K. (Ed.): Communication and Control in Society, New []
  14. Vgl. z. B. Luhmann, N. (1997): Die Gesellschaft der Gesellschaft, Frankfurt a.M.: Suhrkamp, S. 281 []
  15. Vgl. z. B. v. Foerster, H. (1993a): Wissen und Gewissen, Frankfurt a.M.: Suhrkamp, S. 116 []
  16. Luhmann war sich beider Alternativen bewusst; vgl. Luhmann, N. (1991): Am Ende der kritischen Soziolo­gie; in: Zeitschrift für Soziologie, 20. Jg., S. 147 – 152, hier S. 149 []
  17. Vgl.: Pask, G. (1975): The cybernetics of human learning and performance: A guide to theory and research, ‎ London: Hutchinson Educational; ders. (1975): Conversation, cognition and learning: A cybernetic theory and methodology, Amsterdam, New York: Elsevier Science Ltd.; ders. (1976): Conversation Theorie: Appli­cations in Education and Epistemology,‎ Amsterdam, New York: Elsevier Science Ltd. []
  18. Vgl.: Luhmann, Niklas (2006): Organisation und Entscheidung, Wiesbaden: Verlag für Sozialwissenschaften, S. 133 []

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